Par Issa Berthé
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L’équation de Dirac est une équation d’onde de la mécanique quantique relativiste formulée par le physicien britannique Paul Dirac en 1928, qui fournit une description des particules élémentaires de spin-½, telles que les électrons, compatible à la fois avec les principes de la mécanique quantique et la théorie de la relativité restreinte. Il s’agit de la première théorie à rendre compte de la relativité dans le contexte de la mécanique quantique.
La forme standard de l’équation de Dirac s’écrit comme suit : iħ ∂ψ/∂t = [cα-p + βmc²] ψ où : – i est l’unité imaginaire ; – ħ est la constante de Planck réduite (h/2π), une constante fondamentale de la mécanique quantique ; – c est la vitesse de la lumière ; – t représente le temps ; – ∂/∂t désigne la dérivée partielle par rapport au temps ; – α et β sont des matrices 4×4 (avec des éléments complexes), connues sous le nom de matrices de Dirac. Elles ont été introduites par Dirac pour rendre l’équation compatible avec la théorie de la relativité restreinte. – p est l’opérateur de quantité de mouvement, conventionnellement donné par -iħ∇ (où ∇ est l’opérateur de gradient, généralement exprimé en trois dimensions, et représente les dérivées spatiales). – m est la masse de la particule. – ψ est la fonction d’onde de la particule qui encapsule toute l’information sur le système, et dans ce cas, c’est un objet à quatre composantes connu sous le nom de “spinor”. Les quatre composantes du spinor représentent deux degrés de liberté pour l’électron (spin up ou spin down), et deux pour l’antiparticule correspondante, le positron.
L’équation de Dirac décrit correctement les particules de spin -1/2, et ses solutions ont des états d’énergie négatifs. C’était un problème jusqu’à ce que Dirac propose le concept de mer d’électrons, où tous ces états d’énergie négative sont remplis par des électrons dans ce que nous appelons la “mer de Dirac”, à l’exception de quelques électrons manquants que nous observons comme des positrons (antiélectrons) avec une énergie positive. L’équation de Dirac a donc permis de prédire l’existence de l’antimatière, révolutionnant ainsi le domaine de la physique quantique. Il convient de noter que l’équation de Dirac n’est pas tout à fait parfaite. Elle suppose que l’électron est une particule ponctuelle, ce qui conduit à des infinités d’auto-énergie. Ces problèmes ont été résolus plus tard avec le développement de l’électrodynamique quantique (EQD), qui utilise une approche de la théorie des champs incorporant les principes de l’équation de Dirac.
